Estatística II - Exemplos

Capítulo 4

Exemplo 4.1

Tamanho da amostra: 38; média: 45 minutos; desvio padão: 6 minutos. Intervalo aproximado de 99% de confiança.

> n <- 38
> xbarra <- 45
> S <- 6
> z <- 2.58
> #Limite inferior
> LI <- (xbarra-(z*(S/(sqrt(38)))))
> round(LI, dig=2)
 

[1] 42.49
 

> #Limite superior
> LS <- (xbarra+(z*(S/(sqrt(38)))))
> round(LS, dig=2)
 

[1] 47.51
 

Maneira alternativa para calcular o intervalo: utilizando a função 't.test'(resuldado aproximado, pois os nº de distribuição normal são gerados aleatoriamente).

> set.seed(123)
> x <- rnorm(38, 45, 6)
> t.test(x, conf.level = 0.99, mu = 45)
 

	One Sample t-test

data:  x 
t = 0.4411, df = 37, p-value = 0.6617
alternative hypothesis: true mean is not equal to 45 
99 percent confidence interval:
 42.97008 47.81742 
sample estimates:
mean of x 
 45.39375 
 

Exemplo 4.2

Tamanho da amostra: 22; média: R$ 15; desvio padão: 5. Intervalo aproximado de 95% de confiança.

> n <- 22
> xbarra <- 15
> S <- 5
> t <- 2.08
> E <- t*(S/(sqrt(n)))
> #Limite superior
> LS <- (xbarra+E)
> round(LS, dig=3)
 

[1] 17.217
 

> #Limite inferior
> LI <- (xbarra-E)
> round(LI, dig=3)
 

[1] 12.783
 

Maneira alternativa.

> set.seed(123)
> y <- rnorm(22, 15, 5)
> t.test(y, conf = 0.95, mu = 15)
 

	One Sample t-test

data:  y 
t = 0.3426, df = 21, p-value = 0.7353
alternative hypothesis: true mean is not equal to 15 
95 percent confidence interval:
 13.21771 17.48532 
sample estimates:
mean of x 
 15.35152 
 

Exemplo 4.3

Gráfico

> p <- seq(0, 1, 0.001)
> p2 <- p * (1 - p)
> plot(p, p2, type = "l", xlab = "p", ylab = "p(1-p)")
 

Tamanho da amostra: 600; média: 0.7; p: 0.7.

> n <- 600
> z <- 1.96
> p <- 0.7
> #Limite superior
> LS <- p+z*((sqrt(p*(1-p)/n)))
> round(LS, dig=3)
 

[1] 0.737
 

> #Limite inferior
> LI <- p-z*((sqrt(p*(1-p)/n)))
> round(LI, dig=3)
 

[1] 0.663
 

Exemplo 4.4

X1 = 21.3, S1 = 2.6, X2 = 13.4, S2 = 1.9, n = 30.

> X1 <- 21.3
> S1 <- 2.6
> X2 <- 13.4
> S2 <- 1.9
> n <- 30
> z <- 1.96
> #Limite superior
> LS <- (X1-X2)+z*(sqrt(((S1^2)/n)+((S2^2)/n)))
> round(LS, dig=3)
 

[1] 9.052
 

> #Limite inferior
> LI <- (X1-X2)-z*(sqrt(((S1^2)/n)+((S2^2)/n)))
> round(LI, dig=3)
 

[1] 6.748
 

Maneira alternativa.

> set.seed(123)
> x1 <- rnorm(30, 21.3, 2.6)
> x2 <- rnorm(30, 13.4, 1.9)
> t.test(x1 - x2, conf = 0.95, mu = 7.9)
 

	One Sample t-test

data:  x1 - x2 
t = -0.7874, df = 29, p-value = 0.4375
alternative hypothesis: true mean is not equal to 7.9 
95 percent confidence interval:
 6.240396 8.636979 
sample estimates:
mean of x 
 7.438687 
 

Exemplo 4.5

Homem: n = 10, X = 45.33, S1 = 1.54. Mulher: n = 11, X = 43.54, S2 = 2.96

> n1 <- 10
> X1 <- 45.33
> S12 <- 1.54
> n2 <- 11
> X2 <- 43.54
> S22 <- 2.96
> Sp2 <- round((((n1-1)*S12)+((n2-1)*S22))/19, dig=2)
> Sp2
 

[1] 2.29
 

> t <- 2.78
> #Limite superior
> LS <- LS <- (X1-X2)+t*(sqrt(Sp2*((1/n1)+(1/n2))))
> round(LS, dig=3)
 

[1] 3.628
 

> #Limite inferior
> LI <- LS <- (X1-X2)-t*(sqrt(Sp2*((1/n1)+(1/n2))))
> round(LI, dig=3)
 

[1] -0.048
 

Exemplo 4.6

E = 100; z = 1.96; Variação da renda: entre 50 e 100. Criando a função 'n.amostra'.

> require(BSDA)
> nsize(b = 100, sigma = 237.5)
 

The required sample size (n) to estimate the population 
mean with a 0.95 confidence interval so that the margin 
of error is no more than 100 is 22 . 
 

Maneira alternativa: criando a função 'n.amostra'.

> amp <- 1000 - 50
> desv.p <- amp/4
> n1.amostra <- function(z, dp, E){((z*dp)/E)^2}
> # z = z(nivel de significancia).
> # dp = desvio padrao.
> # E = erro maximo.
> round(n1.amostra(1.96, desv.p, 100), dig=0)
 

[1] 22
 

Exemplo 4.7

a) E = 0.05; z = 1.96; p = 0.5

> require(BSDA)
> nsize(b = 0.05, ty = "pi")
 

The required sample size (n) to estimate the population 
proportion of successes with a 0.95 confidence interval 
so that the margin of error is no more than 0.05 is 385 . 
 

b) E = 0.07; z = 1.96; p = 0.6

> nsize(b = 0.07, p = 0.6, ty = "pi")
 

The required sample size (n) to estimate the population 
proportion of successes with a 0.95 confidence interval 
so that the margin of error is no more than 0.07 is 189 . 
 

c)

> n.amostra <- function(N, n) {
+     (N * n)/(N + n)
+ }
 

Exemplo 4.8

E = 1; z = 2.58; dp = 2.8

> nsize(b = 1, sigma = 2.8, conf = 0.99)
 

The required sample size (n) to estimate the population 
mean with a 0.99 confidence interval so that the margin 
of error is no more than 1 is 53 . 
 

N = 200; n = 53

> round(n.amostra(200, 53), dig = 0)
 

[1] 42