MATE7055 - Álgebras de Lie
Ementa:
Definições, exemplos e construções básicas: álgebras de Lie, subálgebras, ideais, homomorfismos, representações, subrepresentações, homomorfismo de representações, representação adjunta, derivações, produto semidireto de álgebras, produto tensorial de representações. Álgebra universal envelopante, teorema de Poicare-Birkhof-Witt. Álgebras de Lie dadas por geradores e relações, representações livres, representações dadas por geradores e relações (definições e exemplos simples). Álgebras solúveis e nilpotente, séries derivada e central, teorema de Engel, teorema de Lie, radicais solúveis e nilpotentes, critério de Cartan para solubilidade, forma de Cartan-Killing e critério para semi-simplicidade. Teorema de Weyl sobre redutibilidade completa de representações de álgebras semi-simples, teorema da decomposição de Levi. Classificação das representações de dimensão finita de sl(2), subálgebras de Cartan e subálgebras torais maximais, teoremas de conjugação, decomposição de álgebras semi-simples em espaços de raízes, sistemas de raízes, grupo de Weyl, sequências de raízes, bases de sistemas de raízes, matrizes de Cartan, diagramas de Dynkin, classificação de sistemas de raízes, teorema de Serre e classificação das álgebras de Lie simples, subálgebras de Borel. Representações de dimensão finita de álgebras semi-simples, pesos, pesos integrais e dominantes, representações de peso máximo, classificação das representações irredutíveis, geradores e relações para as representações irredutíveis, breve introdução a teoria de caracteres (definição e invariância pela ação do grupo de Weyl).
Referência Bibliográficas: